Question

8．如图，已知矩形（即小学学过的长方形）ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，点E为AD的中点．
（1）若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设△PEQ的面积为S cm²，请用t的代数式表示S；
③若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△AEP与△BPQ全等？
（2）若点Q以③中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿矩形ABCD的四条边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在矩形ABCD的哪条边上相遇？

Answer 1

分析 （1）①当t=1时，AP=BQ，∠A=∠B，AE=PB，从而可证明△EAP≌Rt△PBQ；②如图1所示连接QE．当t≤4时，AP=BQ=t，S=S_梯形AEQB-S_AEP-S_PBQ；当4＜t≤6时，点P与点B重合，S=$\frac{1}{2}QB•AB$=$\frac{1}{2}×4×t$=2t；③如图3所示：因为△AEP≌△BQP，所以AP=PB=2，AE=BQ=3，从而可求得t=2，点Q运动的速度为=3÷2=1.5cm/秒；
（2）设运动时间为t秒时，第一次相遇．根据题意得；1.5t-t=16．解得t=32，从而可确定出点P和点Q经过32秒在DC上第一次相遇．

解答 解：（1）①当t=1时，AP=1，BQ=1，
∴AP=BQ．
∵E是AD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×6=3$．
∵PB=AB=AP=4-1=3，
∴AE=PB．
在Rt△EAP和Rt△PBQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=PB}\\{∠A=∠B}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△EAP≌Rt△PBQ．
②如图1所示连接QE．

            图1
当t≤4时，AP=BQ=t，
S_梯形AEQB=$\frac{1}{2}（AE+BQ）•AB$=$\frac{1}{2}×4×（3+t）$=2t+6．
${S}_{△AEP}=\frac{1}{2}AE•PA=\frac{1}{2}×3t$=$\frac{3}{2}t$，${S}_{△PBQ}=\frac{1}{2}PB•BQ$=$\frac{1}{2}×（4-t）t$=2t-$\frac{1}{2}{t}^{2}$．
∴S=2t+6-$\frac{3}{2}t$-（$2t-\frac{1}{2}{t}^{2}$）．
整理得：S=$\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+6$，
如图2所示：

当4＜t≤6时，点P与点B重合，
S=$\frac{1}{2}QB•AB$=$\frac{1}{2}×4×t$=2t．
∴S与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+6（0≤t≤4）}\\{2t（4＜t≤6）}\end{array}\right.$；
③如图3所示：

∵△AEP≌△BQP，PA≠BQ，
∴AP=PB=2，AE=BQ=3．
∴t=AP=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$．
∴点Q运动的速度为=3÷2=1.5cm/秒时，△AEP≌△BQP；
（2）设运动时间为t秒时，第一次相遇．
根据题意得1.5t-t=16．
解得t=32．
点P32秒运动的路程=32cm，根据矩形各边长可知点P和点Q经过32秒在DC上第一次相遇．

点评 本题组要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、函数的解析式、一元一次方程的综合应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．