Question

6．如图，正△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，∠APD=60°，BP=1，CD=$\frac{2}{3}$，则△ABC的边长为3．

Answer 1

分析 根据题意可得：设△ABC的边长为x，根据等边三角形的性质得到∠DCP=∠PBA=60°．根据已知条件得到∠BAP=∠CPD．推出△ABP∽△CPD．由相似三角形的性质得到$\frac{BP}{CD}=\frac{AB}{PC}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：设△ABC的边长为x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DCP=∠PBA=60°．
∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠BAP+∠ABP，∠APD=60°，
∴∠BAP=∠CPD．
∴△ABP∽△CPD．
∴$\frac{BP}{CD}=\frac{AB}{PC}$，
∴$\frac{1}{\frac{2}{3}}$=$\frac{x}{x-1}$．
∴x=3．
即△ABC的边长为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．