Question

20．如图，点A（14，0），点B（5，12），P为△OAB内心，若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点P，则k=36．

Answer 1

分析 作BQ⊥OA，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出OB、AB的长，继而可得△OAB内切圆半径，PC⊥OA、PD⊥AB、PE⊥OB，设PC=OC=x，则AC=AD=14-x，BE=13-x，BD=AB-AD=15-（14-x）=1+x，由BD=BE可得13-x=1+x，解之求出x的值，从而得出点P的坐标，即可得出答案．

解答 解：如图，过点B作BQ⊥OA于点Q，

则OQ=5，BQ=12，
∴OB=$\sqrt{O{Q}^{2}+B{Q}^{2}}$=13，AQ=OA-OQ=9，
∴AB=$\sqrt{B{Q}^{2}+A{Q}^{2}}$=15，
设⊙P的半径为r，
则r=$\frac{14×12}{14+13+15}$=6，
过点P作PC⊥OA于C，PD⊥AB于D，PE⊥OB于E，
设PC=OC=x，则AC=AD=14-x，BE=13-x，
∴BD=AB-AD=15-（14-x）=1+x，
由BD=BE可得13-x=1+x，
解得：x=6，
∴点P的坐标为（6，6），
则k=6×6=36，
故答案为：36．

点评 本题主要考查勾股定理、三角形的内切圆半径公式及切线长定理，根据三角形的内切圆半径公式及切线长定理求出点P的坐标是解题的关键．