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【题目】阅读与应用:阅读1:a、b为实数,且a>0,b>0,因为,所以从而(当a=b时取等号).

阅读2:若函数;(m>0,x>0,m为常数),由阅读1结论可知:,所以当,即时,函数的最小值为

阅读理解上述内容,解答下列问题:

问题1:已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为,周长为2(),求当x= 时,周长的最小值为

问题2:已知函数)与函数),

当x= 时,的最小值为

问题3:某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分:一是教职工工资4900元;二是学生生活费成本每人10元;三是其他费用.其中,其他费用与学生人数的平方成正比,比例系数为0.01.当学校学生人数为多少时,该校每天生均投入最低?最低费用是多少元?(生均投入=支出总费用÷学生人数)

【答案】(1)2,8;(2)2,6;(3)700,24.

【解析】

试题分析:问题1:由阅读2得到的范围,进一步得到周长的最小值;

问题2:把变形为,由阅读2得到的范围,进一步即可求解;

问题3:可设学校学生人数为x人,根据生均投入=支出总费用÷学生人数,列出代数式,再由阅读2得到范围,从而求解.

试题解析:问题1:),解得x=2,x=2时,有最小值为=4.故当x=2时,周长的最小值为2×4=8;

问题2:),),=,解得x=2,x=2时,有最小值为=6;

问题3:设学校学生人数为x人,则生均投入===),解得x=700,x=700时,有最小值为=1400,故当x=700时,生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元.

答:当学校学生人数为700时,该校每天生均投入最低,最低费用是24元.

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(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索,过G作MNEF,分别交AB,CD于点M,N,过H作PQEF,分别交AB,CD于点P,Q,得到四边形MNQP,此时,他猜想四边形MNQP是菱形,请在下列框中补全他的证明思路.

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(1)写出点C的坐标,并说明∠ECF=90°;

(2)在△PEF中,M为EF中点,P为动点.

①求证:

②已知PE=PF=3,以EF为一条对角线作平行四边形CEDF,若1<PD<2,试求CP的取值范围.

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(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3,求BN的长;

(2)如图2,在ABC中,FG是中位线,点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE≥BD,连接AD,AE分别交FG于点M,N,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点;

(3)已知点C是线段AB上的一定点,其位置如图3所示,请在BC上画一点D,使点C,D是线段AB的勾股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画一种情形即可);

(4)如图4,已知点M,N是线段AB的勾股分割点,MN>AM≥BN,AMC,MND和NBE均为等边三角形,AE分别交CM,DM,DN于点F,G,H,若H是DN的中点,试探究的数量关系,并说明理由.

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