Question

8．已知半径为4的圆内接正n边形的边心距为2$\sqrt{2}$，则n=4．

Answer 1

分析 利用三角函数求出∠AOD=45°，再根据等腰三角形三线合一得：∠AOB=90°，即中心角为90°，利用周角计算边的数：n=360÷90=4．

解答 解：如图所示，半径OA=OB=4，边心距OD⊥AB，且OD=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AOD中，cos∠AOD=$\frac{OD}{AO}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴∠BOD=∠AOD=45°，
∴∠AOB=90°，
∴n=$\frac{360°}{90°}$=4；
故答案为：4．

点评 本题考查了正多边形和圆的定义，明确正n边形的外接圆半径与边构成n个等腰三角形，其边心距就是等腰三角形底边上的高，利用勾股定理或三角函数可计算边或角的值．