Question

13．如图，已知在直角坐标系中，点P是直线y=-x+4上的一个动点，⊙O的半径为1，过点P作⊙O的切线，切点为A，则PA长度的最小值为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 连接OA、OP，由切线性质可知OA⊥PA，且OA=1，则当OP最小时，PA最小，故当OP与直线y=-x+4垂直时，PA最小，再利用等腰直角三角形的性质可求得OP的值，可求得答案．

解答 解：
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，且OA=1，
∴当OP最小时，PA最小，
∴当OP与直线y=-x+4垂直时，OP最小，
如图，设直线y=-x+4交x轴、y轴于点B、C，
则B（4，0），C（0，4），
∴OB=OC=4，
∴BC=4$\sqrt{2}$，
∴OP=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，即OP的最小值为2$\sqrt{2}$，
∴PA的最小值=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．