Question

15．如图，E是正方形ABCD中AD边上的一个动点，AC与BE交于点P，过P点作PF⊥BE交CD边于F点，连结EF、BF，若AB=4，下列结论
①∠EBF=45°；②△DEF的周长为8；③AP²+CQ²=PQ²；④当F为CD的中点时，有PF=$\sqrt{10}$；
其中正确的是（　　）

• A． 只有①②③
• B． 只有②④
• C． 只有①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 过P点作MN⊥AB，交DC于M，交AB于N，作PH⊥AD于H，由正方形的性质得AB=AD，AN=AH，则BN=HD，而HD=PM，所以BN=PM，接着证明△BPN≌△PFM得到PB=FB，于是可判断△PBF为等腰直角三角形，所以∠PBF=45°，则可对①进行判断；延长DC到E′，使CE′=AE，连结BE′，如图，先证明△ABE≌△CBE′得到BE=BE′，∠ABE=∠CBE′，再证明∠E′BF=45°，则可根据“SAS”判断△BEF≌△BE′F，得到EF=E′F，则EF=AE+FC，利用等线段代换可得△DEF的周长=AD+DC=8，则可对②进行判断；在BE′截取BP′=BP，连结CP′，QP′，易证得△BAP≌△BCP′，得到∠BAP=∠BCP′=45°，AP=CP′，所以∠QCP′=90°，然后证明△BPQ≌△BP′Q得到PQ=P′Q，再在Rt△QCP′中根据勾股定理得CP′²+CQ²=P′Q²，利用等线段代换即可得到AP²+CQ²=PQ²，则可对③进行判断；在Rt△BFC中，利用勾股定理计算出BF=2$\sqrt{5}$，然后根据△PBF为等腰直角三角形可得PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=$\sqrt{10}$，于是可对④进行判断．

解答 解：过P点作MN⊥AB，交DC于M，交AB于N，作PH⊥AD于H，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，AN=AH，
∴BN=HD，
而HD=PM，
∴BN=PM，
∵PF⊥PB，
∴∠BPF=90°，
∴∠BPN+∠FPM=90°，
而∠BPN+∠PBN=90°，
∴∠PBN=∠FPM，
在△BPN和△PFM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PNB=∠FMP}\\{BN=PM}\\{∠PBN=∠FPM}\end{array}\right.$，
∴△BPN≌△PFM，
∴PB=FB
∴△PBF为等腰直角三角形，
∴∠PBF=45°，所以①正确；
延长DC到E′，使CE′=AE，连结BE′，如图2，
在△ABE和△CBE′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠BAE=∠BCE′}\\{AE=CE′}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE′，
∴BE=BE′，∠ABE=∠CBE′，
∴∠EBE′=∠EBC+∠CBE′=∠EBC+∠ABE=∠ABC=90°，
而∠EBF=45°，
∴∠E′BF=45°，
在△BEF和△BE′F中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE′}\\{∠EBF=∠E′BF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BE′F，
∴EF=E′F，
而E′F=FC+CE′=FC+AE，
∴EF=AE+FC，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=DE+DF+AE+FC=AD+DC=4+4=8，所以②正确；
在BE′截取BP′=BP，连结CP′，QP′，如图3，
在△BAP和△BCP′中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABP=∠CBP′}\\{BP=BP′}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△BCP′，
∴∠BAP=∠BCP′=45°，AP=CP′，
而∠ACB=45°，
∴∠QCP′=90°，
在△BPQ和△BP′Q中
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BP′}\\{∠PBQ=∠P′BQ}\\{BQ=BQ}\end{array}\right.$，
∴△BPQ≌△BP′Q，
∴PQ=P′Q，
在Rt△QCP′中，CP′²+CQ²=P′Q²，
∴AP²+CQ²=PQ²，所以③正确；
∵F为CD的中点，
∴FC=2，
在Rt△BFC中，BF=$\sqrt{F{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△PBF为等腰直角三角形，
∴PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{10}$，所以④正确．
故选D．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质．