Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝7，点E是AD边上的一点，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转90°至B′E，连接B′D，当△B′ED是直角三角形时，线段AE的长为_____．

Answer 1

【答案】4或.

【解析】

根据题意分两种情况讨论，若∠EB'D＝90°，利用相似三角形的判定与性质求得BE2＝3DE，再根据勾股定理得到BE2＝AB2+AE2，进而求得AE的值；若∠EDB'＝90°，通过“角角边”证明△AEB≌△B'DE，进而得到AE的值.

∵将BE绕点E顺时针旋转90°至B′E，

∴BE＝B'E，∠BEB'＝90°，

①若∠EB'D＝90°，

∴∠B'ED+∠B'DE＝90°，且∠AEB+∠B'ED＝90°，

∴∠AEB＝∠B'ED，且∠A＝∠EB'D＝90°，

∴△AEB∽△B'DE，

∴，

∴BE2＝3DE，

∵BE2＝AB2+AE2，

∴3（7﹣AE）＝9+AE2，

∴AE＝；

②若∠EDB'＝90°，

∵∠A＝∠EDB'，BE＝B'E，∠AEB＝∠B'ED，

∴△AEB≌△B'DE（AAS），

∴AB＝DE＝3，

∴AE＝4.

故答案为：4或.