Question

已知抛物线y=x²-2x-8
（1）试说明该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）由一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；
（2）根据抛物线的解析式求得点A、B、C的坐标，然后利用三角形的面积公式来求△ABC的面积．

解答：（1）证明：抛物线y=x²-2x-8，
∵a=1，b=-2，c=-8，
∴△=4+32=36＞0，
则该抛物线与x轴一定有两个交点．

（2）解：解方程x²-2x-8=0，得x₁=-2，x₂=4．
故抛物线y=x²-2x-8与x轴有两个交点．
则A（-2，0），B（4，0），故AB=6．
由y=x²-2x-8=x²-2x+1-9=（x-1）²-9，
故P点坐标为（1，-9）；
过P作PC⊥x轴于C，则PC=9，
∴S_△ABP=

1

2

AB•PC=

1

2

×6×9=27
即△ABC的面积是27．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点由根的判别式的正负来判断．