Question

如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：
（1）AE=BD；  
（2）CM=CN；  
（3）△CMN为等边三角形；  
（4）MN∥BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质得出AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，求出∠ACE=∠DCB，根据SAS推出△ACE≌△DCB即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠CAE=∠CDB，根据等边三角形的性质得出AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°，求出∠DCE=60°，推出∠ACM=∠DCN，根据ASA推出△ACM≌△DCN即可；
（3）根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形推出△CMN为等边三角形，推出∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，求出∠CMN=∠ACM=60°，即可得出答案；
（4）根据等边三角形的性质得出∠CMN=∠ACM=60°，根据平行线的判定得出即可．

解答：证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB，
 在△ACE和△DCB中

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=BC

∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；

（2）∵由（1）可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
即∠CAM=∠CDN，
∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°，
 又点A、C、B在同一条直线上，
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，
即∠DCN=60°，
∴∠ACM=∠DCN，
 在△ACM和△DCN中

∠MAC=∠NDC AC=DC ∠ACM=∠DCN

∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN；

（3）∵由（2）可知CM=CN，∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）；

（4）∵△CMN为等边三角形
∴∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，
∴∠CMN=∠ACM=60°，
∴MN∥BC．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．