Question

16、对于函数y=f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为y=f（x）的不动点．已知函数f（x）=tx²+（k+1）x+（k-1）（t≠0），对于任意实数k，函数f（x）恒有两个相异的不动点，则t的取值范围是

0＜t＜1

．

Answer 1

分析：根据题意列出关于x的一元二次方程，然后由根的判别式△=b²-4ac＞0来求t的取值范围．

解答：解：根据题意，得
tx²+（k+1）x+（k-1）=x，即tx²+kx+（k-1）=0，
∵函数f（x）=tx²+（k+1）x+（k-1）（t≠0）恒有两个相异的不动点，
∴△=k²-4t（k-1）＞0，即k²-4tk+4t＞0
∴（k-2t）²-4t²+4t＞0；
∵对于任意实数k，函数f（x）恒有两个相异的不动点，
∴4t-4t²＞0
解得，0＜t＜1；
故答案是：0＜t＜1．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点都满足该函数的解析式．