Question

如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90度．
（1）过C作对角线BD的垂线，分别交BD，AD于点E，F，求证：CD²=DF•DA；
（2）如图2，若过BD上另一点E作BD的垂线，分别交BA，BC的延长线于点F，G，又有什么结论呢？你会证明吗？

Answer 1

证明：（1）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，
∴△DEF∽△DAB，
∴DE：DA=DF：DB，
∴DE•DB=DA•DF，
∵∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，
∴△DEC∽△DCB，
∴=，
∴DC²=DE•DB，
又∵DE•DB=DA•DF，
∴CD²=DF•DA．

（2）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠ABD=∠EBF，
∴△DAB∽△FEB，
∴DB：FB=AB：EB，
∴BE•BD=AB•BF．
同理△DBC∽△GBE．
∴DB：GB=BC：BE．
∴BE•BD=BC•BG．
∴AB•BF=BC•BG．
分析：（1）根据如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可以证得△DCE∽△DBC，△DEF∽△DAB；根据相似三角形的对应边成比例，即可证得．
（2）利用上题的方法，可以得到比例线段，将其变形，可得到等积式．
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．