Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点，直线MN⊥AB于A，且分别与⊙O₁，⊙O₂交于M、N，P为线段MN的中点，又∠AO₁Q₁=∠AO₂Q₂，求证：PQ₁=PQ₂．

Answer 1

考点：四点共圆,线段垂直平分线的性质,圆周角定理,圆内接四边形的性质,平行线分线段成比例

专题：证明题

分析：连接MQ₁、BQ₁、BQ₂、NQ₂，过点P作PH⊥Q₁B于H，利用圆内接四边形的性质和圆周角定理可证到_^Q1、B、Q₂三点共线，MQ₁∥NQ₂，进而可证到MQ₁∥PH∥NQ₂，然后根据平行线分线段成比例可得H为线段Q₁Q₂的中点，然后利用线段垂直平分线的性质就可证到结论．

解答：解：连接MQ₁、BQ₁、BQ₂、NQ₂，过点P作PH⊥Q₁B于H，如图所示．
则由圆内接四边形的性质可得：
∠Q₁MA+∠ABQ₁=180°，∠ABQ₂+∠ANQ₂=180°，∠MAB=∠BQ₂N．
由圆周角定理可得：
∠ABQ₁=

1

2

∠AO₁Q₁，∠ANQ₂=

1

2

∠AO₂Q₂．
∵∠AO₁Q₁=∠AO₂Q₂，
∴∠ABQ₁=∠ANQ₂，
∴∠ABQ₂+∠ABQ₁=∠ABQ₂+∠ANQ₂=180°，
∴Q₁、B、Q₂三点共线．
由圆内接四边形的性质可得：∠ABQ₁=∠ANQ₂，
∴∠Q₁MA+∠ANQ₂=∠Q₁MA+∠ABQ₁=180°，
∴MQ₁∥NQ₂．
∵AB⊥MN，
∴∠MAB=90°，
∴∠Q₁Q₂N=∠MAB=90°．
∵PH⊥Q₁B，即∠Q₁HP=90°，
∴∠Q₁HP=∠Q₁Q₂N，
∴PH∥NQ₂，
∴MQ₁∥PH∥NQ₂．
∵P为线段MN的中点，
∴H为线段Q₁Q₂的中点，
∴PH垂直平分Q₁Q₂，
∴PQ₁=PQ₂．

点评：本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线分线段成比例、线段垂直平分线的性质等知识，利用平行线分线段成比例是解决本题的关键，需要注意的是：只有证到Q₁、B、Q₂三点共线后，才能运用平行线分线段成比例．