Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为ts（0＜t＜2），连接PQ．当△CPQ是以PC为腰的等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：过点P分别作PD⊥AC，垂足为D，PE⊥BC垂足为E，由题意得：BP=5t，CQ=4t，AP=10-5t，然后由PD∥BC，得到

AP

AB

=

PD

BC

=

AD

AC

，进而表示出PD=8-4t，AD=6-3t，然后分类：①当PQ为底时，求出t=

32-8 7

9

，②当QC为底时，求出t=

4

3

．

解答：解：过点P分别作PD⊥AC，垂足为D，PE⊥BC垂足为E，
由题意得：BP=5t，CQ=4t，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB²=BC²+AC²，
∴AB²=8²+6²，
∴AB=10，
∴AP=10-5t，
∵PD⊥AC，∠ACB=90°，
∴PD∥BC，
∴

AP

AB

=

PD

BC

=

AD

AC

，
即：

10-5t

10

=

PD

8

=

AD

6

，
∴PD=8-4t，AD=6-3t，
∴DC=3t，
①当PQ为底时，PC=CQ，
即：PC²=CQ²，
∴PD²+CD²=CQ²，
即：（8-4t）²+（3t）²=（4t）²，
解得：t₁=

32+8 7

9

＞2（舍去），
t₂=

32-8 7

9

，
②当QC为底时，PC=CQ，
∵PE⊥BC，
∴CE=

1

2

CQ=2t，
∵PD=CE，
∴8-4t=2t，
解得：t=

4

3

．
综上所述：当t=

32-8 7

9

或

4

3

时，△PCQ是以PC为腰的等腰三角形．

点评：此题考查一元二次方程的应用，涉及几何图形中的动点问题，此题注意分类讨论．