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【题目】如图,ABC中,∠BAC=90°,ADBC,垂足为D.

(1)求作∠ABC的平分线,分别交AD,ACP,Q两点;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

(2)证明AP=AQ.

【答案】(1)作图见解析;(2)证明见解析.

【解析】分析:(1)根据角平分线的性质作出BQ即可

(2)先根据垂直的定义得出∠ADB=90°,故∠BPD+∠PBD=90°.再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°,根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD,再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP,据此可得出结论.

详解:(1)如图所示,BQ为所求作

(2)∵BQ平分∠ABC ∴∠ABQ=∠CBQ

△ABQ中,∠BAC=90°

∴∠AQP+∠ABQ=90°

∵AD⊥BC ∴∠ADB=90°

∴在Rt△BDP中,∠CBQ+∠BPD=90°

∵∠ABQ=∠CBQ ∴∠AQP=∠BPD

又∵∠BPD=∠APQ

∴∠AQP=∠AQP ∴AP=AQ

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