Question

4．已知二次函数y=-x²+bx+c（b、c为常数）．
（1）当b=-2，c=3时，此二次函数图象的顶点坐标是（-1，4）；
（2）当c=5时，若在函数值y=9的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的表达式；
（3）当c=b²时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为15，求此时二次函数的表达式．

Answer 1

分析 （1）把b=2，c=-3代入函数解析式，利用配方法求二次函数的顶点坐标；
（2）根据当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x²+bx+5=1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；
（3）当c=b²时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）当b=2，c=-3时，二次函数的解析式为y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴二次函数图象的顶点坐标是：（-1，4）；
故答案为：（-1，4）；

（2）当c=5时，二次函数的表达式为y=-x²+bx+5，
由题意，得方程-x²+bx+5=9有两个相等的实数根，
∴△=b²-16=0，
解得：b=±4，
∴此时二次函数的表达式为：y=-x²+4x+5或y=-x²-4x+5；

（3）当c=b²时，y=-x²+bx+b²，
它的图象开口向下，对称轴为：x=$\frac{b}{2}$，
①若$\frac{b}{2}$＜b，即b＞0，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而减小
故当x=b时，y=-b²+b•b+b²=b²为最大值，
∴b²=15，
解得：b=$\sqrt{15}$或b=-$\sqrt{15}$（舍去），
②若b≤$\frac{b}{2}$≤b+3，即-6≤b≤0，
故当x=$\frac{b}{2}$时，y=-（$\frac{b}{2}$）²+b•$\frac{b}{2}$+b²=$\frac{5}{4}$b²为最大值，
∴$\frac{5}{4}$b²=15，
 解得：b=2$\sqrt{3}$（舍去） 或b=-2$\sqrt{3}$，
③若$\frac{b}{2}$＞b+3，即b＜-6，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大
故当x=b+3时，y=-（b+3）²+b•（b+3）+b²=b²-3b-9为最大值，
∴b²-3b-9=15，
 解得：b=$\frac{3±\sqrt{105}}{2}$（舍去）
综上所述，b=$\sqrt{15}$或b=-2$\sqrt{3}$，
∴此时二次函数的表达式为：y=-x²+$\sqrt{15}$x+15或y=-x²-2$\sqrt{3}$x+12．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及配方法求二次函数顶点坐标以及函数最值求法等知识，利用分类讨论得出是解题关键．