【题目】已知圆C:(x﹣1)2+y2= ,一动圆与直线x=﹣ 相切且与圆C外切. (Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹T的方程;
(Ⅱ)若经过定点Q(6,0)的直线l与曲线T相交于A、B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N,试问是否存在直线l,使得NA⊥NB,若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)设P(x,y),则由题意,|PC|﹣(x+ )= , ∴ =x+1,
化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为y2=4x;
(Ⅱ)设A(x1 , y1),B(x2 , y2).
由题意,设直线l的方程为x=my+6,联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣24=0,
∴y1+y2=4m,y1y2=﹣24①,
∴x1+x2=4m2+12②,x1x2=36③
假设存在N(x0 , y0),使得NA⊥NB,则y0= =2m④,
∴x0=m2⑤,
∵ =0,
∴代入化简可得(m2+6)(3m2﹣2)=0,
∴m= ,
∴存在直线l:x= y+6,使得NA⊥NB
【解析】(Ⅰ)利用直接法,求动圆圆心P的轨迹T的方程;(Ⅱ)由题意,设直线l的方程为x=my+6,联立抛物线方程,利用 =0,代入化简可得(m2+6)(3m2﹣2)=0,即可得出结论.
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【题目】将函数y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数g(x)=sin2x的图象,当x1 , x2满足时,|f(x1)﹣g(x2)|=2, ,则φ的值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=|x|+|x﹣3|.
(1)解关于x的不等式f(x)﹣5≥x;
(2)设m,n∈{y|y=f(x)},试比较mn+4与2(m+n)的大小.
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【题目】已知函数f(x)=m﹣|x﹣1|,(m>0),且f(x+1)≥0的解集为[﹣3,3]. (Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若正实数a,b,c满足 ,求证:a+2b+3c≥3.
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【题目】若对任意的实数a,函数f(x)=(x﹣1)lnx﹣ax+a+b有两个不同的零点,则实数b的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1]
B.(﹣∞,0)
C.(0,1)
D.(0,+∞)
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把点P′(﹣y+1,x+1)叫做点P的伴随点,已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An.
(1)若点A1的坐标为(2,1),则点A4的坐标为_____;
(2)若点A1的坐标为(a,b),对于任意的正整数n,点An均在x轴上方,则a,b应满足的条件为_____.
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【题目】已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x,记关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为M.
(1)若a﹣3∈M,求实数a的取值范围;
(2)若[﹣1,1]M,求实数a的取值范围.
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【题目】为了丰富学生课外小组活动,培养学生动手操作能力,王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳,用来做手工编织,在不造成浪费的前提下,你有几种不同的截法( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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