Question

【题目】已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处．

（1）求证：△OCP∽△PDA；

（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）边AB的长为10.

【解析】

（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.
∴∠APO=90°.
∴∠APD=90°∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
（2）∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，
∴====.
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.
∵AD=8，
∴CP=4，BC=8.
设OP=x，则OB=x，CO=8x.
在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8x，
∴x2=(8x)2+42.
解得：x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴边AB的长为10.