Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=AC，点D在边AC上，将△ABD绕点B顺时针旋转得到△CBE，连接ED并延长交BA的延长线于点F．

（1）求证：∠CDE=∠ABD；

（2）探究线段AD，CD，BE之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AD=1，CD=3，求线段EF的长．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）先判断出△ABD≌△CBE，进而判断出∠ABD=∠CDE；
（2）先判断出△DCE是直角三角形，进而得出DE2=BD2+BE2=2BE2，即可得出结论；
（3）先利用勾股定理求出DE，再判断出△FAD∽△FDB，得出FD=FA，最后用勾股定理求出FA即可得出结论．

（1）证明：∵∠ABC=90°，AB=BC

∴∠BAC=∠ACB=45°，

∵△ABD绕点B顺时针旋转得到△CBE

∴△ABD≌△CBE，∠DBE=∠ABC=90°，

∴BD=BE，∠BCE=∠BAC=45°．

∴∠BDE=∠BED=45°．

∵∠BDC=∠BAD+∠ABD=∠ABD+45°，∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠CDE+45°，

∴∠ABD=∠CDE．

（2）∵∠ACB=45°，∠BCE=45°，

∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°．

∴CD2+CE2=DE2，

∵BD=BE，∠DBE=90°，

∴DE2=BD2+BE2=2BE2，

∵△ABD≌△CBE，

∴AD=CE．

∴AD2+CD2=2BE2，

（3）∵AD=1，CD=3，

∴AC=4，BD=BE==．

∵∠DBE=90°，

∴DE==

在Rt△ABC中，AB=ACsin∠ACB=2．

∵∠ABD=∠CDE=∠ADF，∠F=∠F，

∴△FAD∽△FDB．

∴，即

∴FD=FA，FD2=FAFB．

∴（FA）2=FA（FA+2）．解得FA=或FA=0（舍去）

∴FD=FA=．

∴EF=FD+DE=