【题目】如图,矩形ABCD中,∠BAD的平分线AE与BC边交于点E,点P是线段AE上一定点(其中PA>PE),过点P作AE的垂线与AD边交于点F(不与D重合).一直角三角形的直角顶点落在P点处,两直角边分别交AB边,AD边于点M,N.
(1)求证:△PAM≌△PFN;
(2)若PA=3,求AM+AN的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)3
【解析】
(1)根据题意证明AP=PF,再根据∠MPN=90°,∠APF=90°证明∠MPA=∠FPN即可;
(2)用勾股定理证明AF,再通过全等三角形证明AM=NF即可.
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=90°
∵∠BAD的平分线AE与BC边交于点E,
∴∠BAE=∠EAD=45°
∵PF⊥AP
∴∠PAF=∠PFA=45°
∴AP=PF
∵∠MPN=90°,∠APF=90°
∴∠MPN﹣∠APN=∠APF﹣∠APN
∴∠MPA=∠FPN,且AP=PF,∠MAP=∠PFA=45°
∴△PAM≌△PFN(ASA)
(2)∵PA=3
∴PA=PF=3,且∠APF=90°
∴AF==3
∵△PAM≌△PFN;
∴AM=NF
∴AM+AN=AN+NF=AF=3
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AC=6,BC的中点为D,将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC,EF的中点为G,连接DG在旋转过程中,DG的最大值是_______.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=AC,点D在边AC上,将△ABD绕点B顺时针旋转得到△CBE,连接ED并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:∠CDE=∠ABD;
(2)探究线段AD,CD,BE之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AD=1,CD=3,求线段EF的长.
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【题目】某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件,为了促销,该网店决定降价销售.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元,设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元?
(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润,每星期至少要销售该款童装多少件?
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【题目】如图,△ABC是等腰三角形,且AC=BC,∠ACB=120°,在AB上取一点O,使OB=OC,以O为圆心,OB为半径作圆,过C作CD∥AB交⊙O于点D,连接BD.
(1)猜想AC与⊙O的位置关系,并证明你的猜想;
(2)已知AC=6,求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别是(0,2)、(4,0),点P是直线y=2x+2上的一动点,当以P为圆心,PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时,点P的坐标为__________.
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【题目】△ABC在平面直角坐标系中,且A(-2,1)、B(-3,-2)、C(1,-4),将其平移后得到若A、B的对应点是C的对应点的坐标是(3,-1).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC;
(2)写出点的坐标是__________,的坐标是___________;
(3)此次平移也可看作向_______平移____个单位长度,再向_____平移了____个单位长度;
(4)△ABC的面积为_________.
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【题目】某区举行“庆祝改革开放40周年”征文比赛,已知每篇参赛征文成绩记分,组委会从1000篇征文中随机抽取了部分参赛征文,统计了他们的成绩,并绘制了如下不完整的两幅统计图表:
征文比赛成绩频数分布表 | ||
分数段 | 频数 | 频率 |
38 | 0.38 | |
0.32 | ||
10 | 0.1 | |
合计 | 1 |
请根据以上信息,解决下列问题:
(1)征文比赛成绩频数分布表中的值是 ;
(2)补全征文比赛成绩频数分布直方图;
(3)若80分以上(含80分)的征文将被评为一等奖,试估计全市获得一等奖征文的篇数.
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【题目】出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天上午所接六位乘客的行车里程(单位:)如下:
,,,,,,
问:(1)将最后一位乘客送到目的地时,小李在什么位置?
(2)若汽车耗油量为(升/千米),这天上午小李接送乘客,出租车共耗油多少升?
(3)若出租车起步价为8元,起步里程为(包括),超过部分每千米1.2元,问小李这天上午共得车费多少元?
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