Question

如图，抛物线y=ax²+bx-2经过A（4，0），B（1，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

Answer 1

解：（1）将A（4，0），B（1，0）的坐标代入y=ax²+bx-2得
，
解得，
故此抛物线的解析式为y=-x²+x-2．

（2）存在．
如图，设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为-m²+m-2，
AM=4-m，PM=-m²+m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当==时，
△APM∽△ACO，
即4-m=2（-m²+m-2）
解得：m₁=2，m₂=4（舍去），
则P（2，1），
②当==时，
△APM∽△CAO，
即2（4-m）=-m²+m-2，
解得：m₁=4，m₂=5（均不合题意，舍去），
故符合条件的点P的坐标为P（2，1）．

（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4）D点的纵坐标为-t²+t-2，
过D作y轴的平行线交AC于E，
∵由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2，
∴E点的坐标为（t，t-2），
∴DE=-t²+t-2-（t-2）=-t²+2t，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=×（-t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，△DAC面积最大，∴D（2，1）．
分析：（1）本题需先根据图象过A，B两点，即可得出解析式．
（2）本题首先判断出存在，首先设出横坐标和纵坐标，从而得出PA的解析式，再分三种情况进行讨论，当==时和当==时，得出△APM∽△ACO△APM∽△CAO，分别求出点P的坐标即可．
（3）本题需先根据题意设出D点的横坐标和D点的纵坐标，再过D作y轴的平行线交AC于E，再由题意可求得直线AC的解析式为，即可求出E点的坐标，从而得出结果即可．
点评：本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形．