Question

已知如图所示，AD是△ABC的角平分线，过点A的直线MN⊥AD，CH⊥MN．求证：HB+CH＞AB+AC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形三边关系

专题：

分析：首先延长CH交BA的延长线于E，再证明∠E=∠ACH，根据等角对等边可得AE=AC，再利用三角形的三边关系定理可得BH+HE＞BE，再利用等量代换可得HB+CH＞AB+AC．

解答：证明：延长CH交BA的延长线于E，
∵MN⊥AD，CH⊥MN，
∴∠NAD=∠NHC=90°，
∴AD∥CH，
∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACH，
∵AN平分∠CAE，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠E=∠ACH，
∴AE=AC，
在△BHE中，BH+HE＞BE，
即BH+HC＞BA+AE，
∴HB+CH＞AB+AC．

点评：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是正确画出辅助线，证明AE=AC．