Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，若点P使四边形ABPC的面积最大，求点P的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值

专题：

分析：（1）将所给的三点坐标代入抛物线解析式，求出字母a，b，c的值，即可解决问题．
（2）通过作辅助线将四边形ABPC分割为三个三角形，分别求出三个三角形面积的代数式，进而求出四边形ABPC的面积关于字母m的二次函数关系式，借助函数性质解决问题．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点，
∴

a-b+c=0 4a+2b+c=0 c=2

，
解得：a=-1，b=1，c=2，
∴这条抛物线的解析式为y=-x²+x+2．
（2）连接PO，过点P分别作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N；
设点P坐标为（m，n），
则n=-m²+m+2；∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜2，n＞0；
由题意得：PM=m，PN=n；
∵S△AOC=

1

2

•OA•OC=

1

2

×1×2=1，S△POC=

1

2

•OC•PM=

1

2

×2×m=m，S△POB=

1

2

•OB•PN=

1

2

×2×n=n，
∴S_{四边形ABPC}=1+m+n=1+m-m²+m+2=-m²+2m+3，
∵二次项系数a=-1＜0，
∴当m=-

2

2×(-1)

=1时，四边形ABPC的面积取得最大值，
此时，n=-1+1+2=2；
∴当四边形ABPC的面积最大时，点P坐标为（1，2）

点评：考查了待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征等代数问题；解题的关键是：首先正确利用待定系数法求解析式，然后通过作辅助线将四边形的面积转化为三角形的面积和，进而利用二次函数的性质来解题．