Question

对关于x的一次函数y=kx-k-

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k2和二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）．
（1）当c＜0时，求函数s=-2|ax²+bx+c|+2013的最大值；
（2）若直线y=kx-k-

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k2和抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，求a³+b³+c³的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先设y₁=ax²+bx+c，由a＞0，c＜0，可得△＞0，即可得|ax²+bx+c|≥0，继而求得函数y=-2|ax²+bx+c|+2013的最大值；
（2）由直线y=kx-k-

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k²与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，可得ax²+（b-k）x+

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k²+k+c=0有相等的实数解，可得判别式△=0，又由不论k为任何实数，直线y=kx-k-

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k²与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，即可得方程组

1-a=0 -2(2a+b)=0 b2-4ac=0

，继而求得a，b，c的值，从而得到a³+b³+c³的值．

解答：解：（1）设y₁=ax²+bx+c，
∵a＞0，c＜0，
∴△=b²-4ac＞0，
∴y₁=ax²+bx+c与x轴有两个交点，
∴|ax²+bx+c|的最小值为0，
∴y=-2|ax²+bx+c|+2013的最大值是2013．

（2）∵直线y=kx-k-

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k²与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，
∴方程组

y=k(x-1)- k2 4 y=ax2+bx+c

只有一组解，
∴ax²+（b-k）x+

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k²+k+c=0有相等的实数解，
∴△=0，
∴（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4ac=0
∵对于k为任何实数，上式恒成立，
∴

1-a=0 -2(2a+b)=0 b2-4ac=0

，
∴a=1，b=-2，c=1，
∴a³+b³+c³=1-8+1=-6．

点评：此题考查了二次函数的性质、一元二次方程根的情况、判别式的知识以及方程组的解法等知识．此题综合性较强，难度较大，注意把函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解此题的关键．