Question

【题目】如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP= BD；③BN+DQ=NQ；④ 为定值．其中一定成立的是 .

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：如图1所示：

作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，

∵∠AMN=∠ABC=90°，

∴A，B，N，M四点共圆，

∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，

∴∠ANM=∠NAM=45°，

∴AM=MN，故①正确．

由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，

在△AHM和△MPN中，

，

∴△AHM≌△MPN（AAS），

∴MP=AH= AC= BD，故②正确，

∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，

∴△ADQ绕点A顺时针旋转90度至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，

则∠RAQ=90°，△ABR≌△ADQ，

∴AR=AQ，∠RAN=90°﹣45°=45°=∠NAM，

在△AQN和△ANR中，

，

∴△AQN≌△ANR（SAS），

∴NR=NQ，

则BN=NU，DQ=UQ，

∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正确．

如图2所示，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，

∴四边形SMWB是正方形，

∴MS=MW=BS=BW，∠SMW=90°，

∴∠AMS=∠NMW，

在△AMS和△NMW中，

，

∴△AMS≌△NMW（ASA），

∴AS=NW，

∴AB+BN=SB+BW=2BW，

∵BW：BM=1： ，

∴ = = ，故④正确．

所以答案是：①②③④．