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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.

(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.

【答案】
(1)证明:如图,连接OD.

∵OA=OB,CD=BD,

∴OD∥AC.

∴∠ODE=∠CED.

又∵DE⊥AC,

∴∠CED=90°.

∴∠ODE=90°,即OD⊥DE.

∴DE是⊙O的切线


(2)解:∵OD∥AC,∠BAC=60°,

∴∠BOD=∠BAC=60°,

∠C=∠0DB.

又∵OB=OD,

∴△BOD是等边三角形.

∴∠C=∠ODB=60°,

CD=BD=5.

∵DE⊥AC,

∴DE=CDsin∠C=5×sin60°=


【解析】要证明直线与圆相切,常添加的辅助线是“作垂直,证半径”或“连半径证垂直”(1)要证DE为⊙O的切线;因为点D在⊙O上,所以添加的辅助线是“连半径证垂直”,由此连接OD,抓住已知条件点D是线段BC的中点,点O是AB的中点根据三角形中位线的定义及定理,可证得OD∥AC,由DE⊥AC,可得到OD⊥DE,即可得出结论;(2)由(1)的证明过程可以知道OD∥AC,又有∠BAC=60°,易证△BOD是等边三角形,即可得到BD、CD的长,再根据锐角三角形函数或勾股定理可以求得DE的长。

练习册系列答案
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【题目】如图①所示,直线Lykx+5kx轴负半轴、y轴正半轴分别交于AB两点.

(1)OAOB时,试确定直线L解析式;

(2)(1)的条件下,如图②所示,设QAB延长线上一点,连接OQ,过AB两点分别作AMOQMBNOQN,若BN3,求MN的长;

(3)K取不同的值时,点By轴正半轴上运动,分别以OBAB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,连EFy轴于P点,问当点By轴上运动时,试猜想△ABP的面积是否改变,若不改变,请求出其值;若改变,请说明理由.

(4)K取不同的值时,点By轴正半轴上运动,以AB为边在第二象限作等腰直角△ABE,则动点E在直线______上运动.(直接写出直线的表达式)

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【题目】填写推理理由:

如图,CDEF1=2,求证:∠3=ACB

证明:∵CDEF

∴∠DCB=2           ),

∵∠1=2

∴∠DCB=1         ).

GDCB        ),

∴∠3=ACB      ).

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【题目】如图所示,在RtABCRtADE中,∠BAC90°,∠DAE90°ABACADAECEBD相交于点MBDAC交于点N,试猜想BDCE有何关系?

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【题目】阅读下列材料:

一般地,n个相同的因数a相乘记为an,记为an.如2×2×2=23=8,此时,3叫做以2为底8的对数,记为log28(即log28=3).一般地,若an=ba0a≠1b0),则n叫做以a为底b的对数,记为logab(即logab=n).如34=81,则4叫做以3为底81的对数,记为log381(即log381=4).

1)计算以下各对数的值:

log24= log216= log264=

2)观察(1)中三数41664之间满足怎样的关系式,log24log216log264之间又满足怎样的关系式

3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?

logaM+logaN= ;(a0a≠1M0N0

4)根据幂的运算法则:anam=an+m以及对数的含义证明上述结论.

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【题目】某商人制成了一个如图所示的转盘,取名为开心大转盘,游戏规定:参与者自由转动转盘,转盘停止后,若指针指向字母A,则收费2元,若指针指向字母B,则奖励3元;若指针指向字母C,则奖励1元.一天,前来寻开心的人转动转盘80次,你认为该商人是盈利的可能性大还是亏损的可能性大?为什么?

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A.100°
B.72°
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D.36°

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