【题目】如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.
【答案】
(1)证明:如图,连接OD.
∵OA=OB,CD=BD,
∴OD∥AC.
∴∠ODE=∠CED.
又∵DE⊥AC,
∴∠CED=90°.
∴∠ODE=90°,即OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线
(2)解:∵OD∥AC,∠BAC=60°,
∴∠BOD=∠BAC=60°,
∠C=∠0DB.
又∵OB=OD,
∴△BOD是等边三角形.
∴∠C=∠ODB=60°,
CD=BD=5.
∵DE⊥AC,
∴DE=CDsin∠C=5×sin60°= .
【解析】要证明直线与圆相切,常添加的辅助线是“作垂直,证半径”或“连半径证垂直”(1)要证DE为⊙O的切线;因为点D在⊙O上,所以添加的辅助线是“连半径证垂直”,由此连接OD,抓住已知条件点D是线段BC的中点,点O是AB的中点根据三角形中位线的定义及定理,可证得OD∥AC,由DE⊥AC,可得到OD⊥DE,即可得出结论;(2)由(1)的证明过程可以知道OD∥AC,又有∠BAC=60°,易证△BOD是等边三角形,即可得到BD、CD的长,再根据锐角三角形函数或勾股定理可以求得DE的长。
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【题目】如图①所示,直线L:y=kx+5k与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.
(1)当OA=OB时,试确定直线L解析式;
(2)在(1)的条件下,如图②所示,设Q为AB延长线上一点,连接OQ,过A、B两点分别作AM⊥OQ于M,BN⊥OQ于N,若BN=3,求MN的长;
(3)当K取不同的值时,点B在y轴正半轴上运动,分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,连EF交y轴于P点,问当点B在y轴上运动时,试猜想△ABP的面积是否改变,若不改变,请求出其值;若改变,请说明理由.
(4)当K取不同的值时,点B在y轴正半轴上运动,以AB为边在第二象限作等腰直角△ABE,则动点E在直线______上运动.(直接写出直线的表达式)
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【题目】填写推理理由:
如图,CD∥EF,∠1=∠2,求证:∠3=∠ACB.
证明:∵CD∥EF,
∴∠DCB=∠2( ),
∵∠1=∠2,
∴∠DCB=∠1( ).
∴GD∥CB( ),
∴∠3=∠ACB( ).
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【题目】如图所示,在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠BAC=90°,∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,CE与BD相交于点M,BD与AC交于点N,试猜想BD与CE有何关系?
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【题目】阅读下列材料:
一般地,n个相同的因数a相乘记为an,记为an.如2×2×2=23=8,此时,3叫做以2为底8的对数,记为log28(即log28=3).一般地,若an=b(a>0且a≠1,b>0),则n叫做以a为底b的对数,记为logab(即logab=n).如34=81,则4叫做以3为底81的对数,记为log381(即log381=4).
(1)计算以下各对数的值:
log24= ,log216= ,log264= .
(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式,log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式 .
(3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?
logaM+logaN= ;(a>0且a≠1,M>0,N>0)
(4)根据幂的运算法则:anam=an+m以及对数的含义证明上述结论.
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【题目】某商人制成了一个如图所示的转盘,取名为“开心大转盘”,游戏规定:参与者自由转动转盘,转盘停止后,若指针指向字母“A”,则收费2元,若指针指向字母“B”,则奖励3元;若指针指向字母“C”,则奖励1元.一天,前来寻开心的人转动转盘80次,你认为该商人是盈利的可能性大还是亏损的可能性大?为什么?
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【题目】如图,已知∠1=∠2,则下列条件中,不能使△ABC≌△DBC成立的是 ( )
A. AB=CD B. AC=BD C. ∠A=∠D D. ∠ABC=∠DCB
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【题目】如图,边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点,AQ交BD于点M,过M作MN⊥AQ交BC于点N,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;②MP= BD;③BN+DQ=NQ;④ 为定值.其中一定成立的是 .
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