【题目】如图①所示,直线L:y=kx+5k与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.
(1)当OA=OB时,试确定直线L解析式;
(2)在(1)的条件下,如图②所示,设Q为AB延长线上一点,连接OQ,过A、B两点分别作AM⊥OQ于M,BN⊥OQ于N,若BN=3,求MN的长;
(3)当K取不同的值时,点B在y轴正半轴上运动,分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,连EF交y轴于P点,问当点B在y轴上运动时,试猜想△ABP的面积是否改变,若不改变,请求出其值;若改变,请说明理由.
(4)当K取不同的值时,点B在y轴正半轴上运动,以AB为边在第二象限作等腰直角△ABE,则动点E在直线______上运动.(直接写出直线的表达式)
【答案】(1)y=x+5;(2)MN=7;(3)S△ABP=;(4)y=﹣x+5.
【解析】
(1)由直线L解析式,求出A与B坐标,根据OA=OB,求出m的值,即可确定出直线L解析式;
(2)由OA=OB,对顶角相等,且一对直角相等,利用AAS得到△AMO≌△ONB,用对应线段相等求长度,然后过点M作MH⊥OA,易得△OMH∽△OAM,然后由相似三角形的对应边成比例,求得M点的坐标;
(3)如图,作EK⊥y轴于K点,利用AAS得到△AOB≌△BKE,利用全等三角形对应边相等得到OA=BK,EK=OB,再利用AAS得到△PBF≌△PKE,寻找相等线段,并进行转化,求得PB的长,继而求得△ABP的面积;
(4)由(3)可得OA=BK=5,EK=OB=5k,则可得OK=OB+BK=5k+5,即可得点E(-5k,5k+5),继而可知动点E在直线y=-x+5上运动.
解:(1)∵直线L:y=mx+5m,
∴A(﹣5,0),B(0,5m),
由OA=OB得,5m=5,m=1,
∴直线解析式为:y=x+5.
(2)在△AMO和△OBN中,
∴△AMO≌△ONB.
∴AM=ON=4,
∴BN=OM=3.
∴MN=OM+ON=7,
(3)如图,作EK⊥y轴于K点.
先证△ABO≌△BEK,
∴OA=BK,EK=OB.
再证△PBF≌△PKE,
∴PK=PB.
∴PB=BK=OA.
S△ABP==AO2=
(4)如图3,∵A(﹣5,0),B(0,5k),
∴OA=BK=5,EK=OB=5k,
∴OK=OB+BK=5k+5,
∴点E(﹣5k,5k+5),
∵动点E在直线y=﹣x+5上运动.
故答案为:y=﹣x+5.
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【题目】已知,直线,点为平面上一点,连接与.
(1)如图1,点在直线、之间,当,时,求.
(2)如图2,点在直线、之间左侧,与的角平分线相交于点,写出与之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,点落在下方,与的角平分线相交于点,与有何数量关系?并说明理由.
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【题目】阅读理解:在以后你的学习中,我们会学习一个定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若点D是斜边AB的中点,则CD=AB.
灵活应用:如图2,△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D是BC的中点,连接AD,将△ACD沿AD翻折得到△AED,连接BE,CE.
(1)填空:AD= ;
(2)求证:∠BEC=90°;
(3)求BE.
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【题目】某长途客运公司规定每位旅客可以免费托运一定重量的行李,超过部分则需缴交行李托运费.行李费托运费y(元)与行李重量x(千克)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)每位旅客最多可以免费托运多少千克行李?
(3)某旅客行托运行李100千克,应交多少行李托运费?
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【题目】小明和小慧两位同学在数学活动课中,把长为30cm,宽为10cm的长方形白纸条粘合起来,小明按如图甲所示的方法粘合起来得到长方形ABCD,粘合部分的长度为6cm,小慧按如图乙所示的方法粘合起来得到长方形 A1B1C1D1 ,粘合部分的长度为4cm。若长为30cm,宽为10cm的长方形白纸共有100张,则小明应分配到( )张长方形白纸条,才能使小明和小慧按各自粘合起来的长方形面积相等(要求100张长方形白纸条全部用完)
A.41
B.42
C.43
D.44
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【题目】某公司销售一种进价为20元/个的计算器,其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表:
价格x(元/个) | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
销售量y(万个) | … | 5 | 4 | 3 | 2 | … |
同时,销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元.
(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式.
(2)求出该公司销售这种计算器的净利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式,销售价格定为多少元时净利润最大,最大值是多少?
(3)该公司要求净利润不能低于40万元,请写出销售价格x(元/个)的取值范围,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为多少元?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.
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