Question

【题目】某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：

价格x（元/个）	…	30	40	50	60	…
销售量y（万个）	…	5	4	3	2	…

同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b，依题可得：
，
∴.
∴函数解析式为：y=-x+8.

（2）解：根据题意得：z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（ x+8）﹣40= （x﹣50）2+50，
∵ ＜0，
∴x=50，z最大=50.
∴该公司销售这种计算器的净得利润z解析式为z=-x2 +10x﹣200，销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元.

（3）解：当公司要求净得利润为40万元时，即 (x50)2 +50=40，
解得：x1=40，x2=60；
作函数图象的草图，通过观察函数y= (x50)2 +50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．
而y与x的函数关系式为：y=-x+8，y随x的增大而减少，还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个.

【解析】（1）根据表格中数据可得出y与x是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b，依题可列二元一次方程组，解之即可得出答案.
（2）根据利润=每个利润×数量得出z与x的函数关系式：z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（ x+8）﹣40= （x﹣50）2+50，根据函数性质即可得出答案.
（3）由（2）中得出得函数解析式，令z=40，解方程即可得出销售价格x1=40，x2=60；需考虑销售量尽可能大，再由函数图像性质得出销售价格应定为40元/个.
【考点精析】掌握一次函数的性质和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．