Question

已知：如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心P（3，0），半径为5，⊙P与抛物线y=ax²+bx+c
（a≠0）的交点A、B、C刚好落在坐标轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，经过C、D的直线是否与⊙P相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由；
（3）如图2，点F是点C关于对称轴PD的对称点，若直线AF交y轴于点K，点G为直线PD上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c（a≠0），由已知条件可求出A，B，C的坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值即可；
（2）直线CD与⊙P相切，易求直线y_CD=k₁x+b₁连接PC，设经过C（0，4）、P（3，0）的直线y_PC=k₂x+b₂，可求出直线的解析式，因为k1•k2=

3

4

•(-

4

3

)=-1，
所以CD⊥PC 且CD经过⊙P的半径外端点C，所以直线CD是⊙P的切线；
（3）因为抛物线的对称轴是x=3，所以点F（6，4），设经过A（-2，0）、F（6，4）的直线y_AF=m₁x+n₁，则可求出直线的解析式，连接K'F交对称轴PD于点G，交x轴于点H，则C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小，再利用给出的已知数据即可求出其最小值．

解答：解：（1）∵⊙P的圆心P（3，0），半径为5，
∴A（-2，0）、B（8，0）、C（0，4），
∴设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c（a≠0）

c=4 4a-2b+c=0 64a+8b+c=0

，
∴

a=- 1 4 b= 3 2 c=4

，
∴所求抛物线的关系式为：y=-

1

4

x2+

3

2

x+4．

（2）直线CD与⊙P相切．
理由如下：由y=-

1

4

x2+

3

2

x+4的顶点D(3，

25

4

)
设经过C（0，4）、D(3，

25

4

)的直线y_CD=k₁x+b₁
得

3k1+b1= 25 4 b1=4

，
解之得

k1= 3 4 b1=4

∴yCD=

3

4

x+4，
连接PC，如图1，
设经过C（0，4）、P（3，0）的直线y_PC=k₂x+b₂

3k2+b1=0 b2=4

，
解之得

k2=- 4 3 b2=4

∴yPC=-

4

3

x+4，
又∵k1•k2=

3

4

•(-

4

3

)=-1，
∴CD⊥PC 且CD经过⊙P的半径外端点C
∴直线CD是⊙P的切线．
 
（3）存在，理由如下：
∵抛物线的对称轴是x=3，
∴点F（6，4）
设经过A（-2，0）、F（6，4）的直线y_AF=m₁x+n₁
∴

-2m1+n1=0 6m1+n1=4

解之得

m1= 1 2 n1=1

∴yAF=

1

2

x+1与y轴交于点K（0，1）
又∵点K（0，1）关于x轴的对称点K'（0，-1）
连接K'F交对称轴PD于点G，交x轴于点H，如图2
则C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小．
又设经过K'（0，-1）、F（6，4）的直线yK′F=m2x+n2
∴

6m2+n2=4 n2=-1

解之得

m2= 5 6 n2=-1

∴yK′F=

5

6

x-1
当y=0时，x=

6

5

即H(

6

5

，0)；
当x=3时，y=

3

2

即G(3，

3

2

)，
∴FK′=

(6-0)2+(4+1)2

=

61

CK=4-1=3，
∴四边形CGHK的最小周长l=3+

61

．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、一次函数解析式得确定，勾股定理的运用，轴对称的性质、线段最短的问题、圆的切线的判定及性质、函数图象交点的求法和利用数形结合以及分类讨论的数学思想方法求出是解题关键．