Question

20．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若PC=2$\sqrt{3}$，OA=3，求⊙O的半径和线段PB的长．

Answer 1

分析 （1）连结OB，如图，由等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠4=∠5，由OA⊥AC得∠2+∠3=90°，加上∠3=∠4，易得∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理可得AB是⊙O的切线；
（2）作OH⊥PB于H，如图，根据垂径定理得到BH=PH，设⊙O的半径为r，则PA=OA-OP=3-r，根据勾股定理得到AC²=PC²-PA²=（2$\sqrt{3}$）²-（3-r）²，AB²=OA²-OB²=3²-r²，所以（2$\sqrt{3}$）²-（3-r）²=3²-r²，解得r=1，则PA=2，然后证明Rt△APC∽Rt△HPO，利用相似比可计算出PH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到PB=2PH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

解答 （1）证明：连结OB，如图，
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵OA⊥AC，
∴∠2+∠3=90°，
∵OB=OP，
∴∠4=∠5，
而∠3=∠4，
∴∠5+∠2=90°，
∴∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥PB于H，如图，则BH=PH，
设⊙O的半径为r，则PA=OA-OP=3-r，
在Rt△PAC中，AC²=PC²-PA²=（2$\sqrt{3}$）²-（3-r）²，
在Rt△OAB中，AB²=OA²-OB²=3²-r²，
而AB=AC，
∴（2$\sqrt{3}$）²-（3-r）²=3²-r²，解得r=1，
即⊙O的半径为1；
∴PA=2，
∵∠3=∠4，
∴Rt△APC∽Rt△HPO，
∴$\frac{PA}{PH}$=$\frac{PC}{PO}$，即$\frac{2}{PH}$=$\frac{2\sqrt{3}}{1}$，
∴PH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PB=2PH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了垂径定理和勾股定理．