【题目】Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动,到达点C停止运动.设运动时间为t秒
(1)如图1,过点P作PD⊥AC,交AB于D,若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的,求t的值;
(2)点Q在射线PC上,且PQ=2AP,以线段PQ为边向上作正方形PQNM.在运动过程中,若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8,求t的值.
【答案】(1)t1=2,t2=4;(2)t的值为或2时,重叠面积为8.
【解析】
(1)先求出△ABC的面积,然后根据题意可得AP=t,CP=6﹣t,然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的,列出方程、解方程即可解答;
(2)根据不同时间段分三种情况进行解答即可.
(1)∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,
∴S△ABC=×6×6=18,
∵AP=t,CP=6﹣t,
∴△PBC与△PAD的面积和=t2+×6×(6﹣t),
∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的,
∴t2+×6×(6﹣t)=18×,
解之,得t1=2,t2=4;
(2)∵AP=t,PQ=2AP,
∴PQ=2t,
①如图1,当0≤t≤2时,S=(2t)2﹣t2=t2=8,
解得:t1=,t2=﹣(不合题意,舍去),
②如图2,当2≤t≤3时,S=×6×6﹣t2﹣(6﹣2t)2=12t﹣t2=8,
解得:t1=4(不合题意,舍去),t2=(不合题意,舍去),
③如图3,当3≤t≤6时,S= 6×6﹣t2=8,
解得:t1=2,t 2=﹣2(不合题意,舍去),
综上,t的值为或2时,重叠面积为8.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
y | … | 0 | 4 | 6 | 6 | 4 | … |
观察上表,得出下面结论:①抛物线与x轴的一个交点为(3,0); ②函数y=ax2+bx+C的最大值为6;③抛物线的对称轴是x=;④在对称轴左侧,y随x增大而增大.其中正确有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,已知二次函数G1:y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(﹣1,0)和(0,3),对称轴为直线x=1.
(1)求二次函数G1的解析式;
(2)当﹣1<x<2时,求函数G1中y的取值范围;
(3)将G1先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到新二次函数G2,则函数G2的解析式是 .
(4)当直线y=n与G1、G2的图象共有4个公共点时,直接写出n的取值范围.
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【题目】某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系:(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)如果商店销售这种商品,每天要获得1500元利润,那么每件商品的销售价应定为多少元?(3)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.
已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,BD的垂直平分线交AD于E,交BC于F,连接BE 、DF.
(1)判断四边形BEDF的形状,并说明理由;
(2)若AB=8,AD=16,求BE的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1与x轴交于点A,与y轴交于点B(0,4),OA=OB,点C(﹣3,n)在直线l1上.
(1)求直线l1和直线OC的解析式;
(2)点D是点A关于y轴的对称点,将直线OC沿y轴向下平移,记为l2,若直线l2过点D,与直线l1交于点E,求△BDE的面积.
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【题目】某商店经销一批小商品,每件商品的成本为8元.据市场分析,销售单价定为10元时,每天能售出200件;现采用提高商品售价,减少销售量的办法增加利润,若销售单价每涨1元,每天的销售量就减少20件.
设销售单价定为x元.据此规律,请回答:
(1)商店日销售量减少___________件,每件商品盈利___________元(用含x的代数式表示);
(2)针对这种小商品的销售情况,该商店要保证每天盈利640元,同时又要使顾客得到实惠,那么销售单价应定为多少元?
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【题目】某中学举行“中国梦,我的梦”的演讲比赛,赛后整理参赛学生的成绩,将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级,并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图,但均不完整,请你根据统计图解答下列问题.
(1)参加比赛的学生共有 名,在扇形统计图中,表示“D等级”的扇形的圆心角为 度,图中m的值为 ;
(2)补全条形统计图;
(3)组委会决定分别从本次比赛中获利A、B两个等级的学生中,各选出1名学生培训后搭档去参加市中学生演讲比赛,已知甲的等级为A,乙的等级为B,求同时选中甲和乙的概率.
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