Question

三个正方形ABCD，DEFG，FHIK，其中D、F为公共点，连接AK、CH，P为AK中点，连接PE．求证：PE⊥CH且PE=

1

2

CH．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：如图所示，先添上字母，连结AE，CG，EK，GH，延长EP至M，使PM=PE，连结AM，KM，延长PE交CH于点N，先证△ADE≌△CDG，△EFK≌△GFH，再推出四边形AEKM是平行四边形，最后再证明出△EAM≌△CGH，进而根据角的关系即可得到结论．

解答：证明：如图，连结AE，CG，EK，GH，延长EP至M，使PM=PE，连结AM，KM，延长PE交CH于点N，
∵∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，

AD=CD   ∠ADE=∠CDG   ED=GD

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，∠DAE=∠DCG，
同理可得△EFK≌△GFH，
∴EK=GH，∠FEK=∠FGH，
∴∠QEK+∠QGK=180°，
∵AP=KP，MP=EP，
∴四边形AEKM是平行四边形，
∴AM=EK，∠MAE+∠AEK=180°，
∴AM=GH，∠EAM=∠CGH，
在△EAM和△CGH中，

AM=GH   ∠EAM=∠CGH   AE=CG

，
∴△EAM≌△CGH，
∴EM=CH，∠AEM=∠GCH，
∴PE=

1

2

CH，∠GCH+∠QEN=∠AEP+∠QEN=180°，
∵∠CQE=90°，
∴∠CNE=90°，
即PE⊥CH．

点评：该题目考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线的性质，关键是分析出作辅助线的方法．