Question

如图，△ABC的面积等于1，在图2中，

AD

AB

=

BE

BC

=

CF

CA

=

1

2

，在图3中，

AD

AB

=

BE

BC

=

CF

CA

=

1

3

，在图4中，

AD

AB

=

BE

BC

=

CF

CA

=

1

4

，…，在图n中，

AD

AB

=

BE

BC

=

CF

CA

=

1

n

，则从图2到图n中，共有

 

张图，△DEF的面积小于

3

5

．

Answer 1

分析：设S_△ADF=S₁，S_△BDE=S₂，S_△CFE=S₃，S_△DEF=S，AB=c，BC=a，AC=b．根据

AD

AB

=

BE

BC

=

CF

CA

=

1

n

，可以求得△ADF，△BDE，△CEF的两个边长与a，b，c的关系，再根据三角形的面积公式S=

1

2

absinc求得△DEF的面积公式S=2-3×

n-1

n2

，最后根据题意解不等式即可．

解答：解：
根据题意，画出上图，
设S_△ADF=S₁，S_△BDE=S₂，S_△CFE=S₃，S_△DEF=S，AB=c，BC=a，AC=b，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

bcsinA=

1

2

absinC①
∵△ABC的面积等于1，
∴由①得，sinA=

2

bc

，sinB=

2

ac

，sinC=

2

ab

，
∵

AD

AB

=

BE

BC

=

CF

CA

=

1

n

，
∴AD=

c

n

，BE=

a

n

，CF=

b

n

，
∴BD=c（1-

1

n

），EC=a（1-

1

n

），AF=b（1-

1

n

），
∴S₁=S₂=S₃=

n-1

n2

，
∴S=1-S₁-S₂-S₃=2-3×

n-1

n2

∵△DEF的面积小于

3

5

，
∴1-3×

n-1

n2

＜

3

5

，2n²-15n+15＜0（n≥2且是自然数），解得2≤n≤6．
∴从图2到图n中，共有5张图，△DEF的面积小于

3

5

．

点评：本题主要考查的是三角形的面积公式S=

1

2

absinc．