Question

2．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E上，压平后得到折痕MN，EF与AD边交于点G．
（1）求CN的长；
（2）求DG的长；
（3）AM=1．（直接填结果）

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可知：BN=EN，在直角△CEN中，若设CN=x，则BN=NE=8-x，CE=4，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长；
（2）可先证明∠NEC=∠EGD，由∠D=∠C，∠NEC=∠EGD，可证明△NEC∽△EGD，利用相似三角形的性质可求得DG的长；
（3）先证明△MFG∽△NCE，然后利用相似三角形的性质可求得AM的长．

解答 解：（1）由折叠的性质可知：BN=EN，设CN=x，则BN=NE=8-x，CE=4，
在直角△CEN中，由勾股定理得：NE²=NC²+CE²，即：（8-x）²=x²+4²，
解得：x=3，
∴CN=3；
（2）折叠的性质可知：∠NEF=∠B=90°，
∴∠NEN+∠DEG=90°
∵∠CNE+∠NEC=90°，
∴∠DEG=∠CNE，
又∵∠D=∠C，
∴△NEC∽△EGD．
∴$\frac{CN}{CE}=\frac{DE}{GD}$，即：$\frac{3}{4}=\frac{4}{GD}$．
∴GD=$\frac{16}{3}$．
（3）折叠的性质可知：AM=MF，
设AM=x，则MF=x，MG=8-$\frac{16}{3}$-x=$\frac{8}{3}$-x，
在直角三角形NCE中，由勾股定理可知：$NE=\sqrt{N{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠MGF=∠EGD=∠NEC，
∴∠MGF=∠NEC
∵∠F=∠C，∠MGF=∠NEC，
∴△MGF∽△NEC，
∴$\frac{MF}{MG}=\frac{NC}{NE}$，即：$\frac{x}{\frac{8}{3}-x}=\frac{3}{5}$，
解得：x=1，
∴AM=1．

点评 本题主要考查的是折叠的性质、勾股定理和相似三角形的性质和判定，找出图中相似的三角形，利用相似三角形的对应边成比例求解是解题的关键．