Question

如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=80°，在△ABC内取一点M，使得∠MBA=30°，∠MAB=10°，那么∠AMC的度数是________．

Answer 1

70°
分析：先在△ABC外做△CDB≌△BMC，推出?CDBM，利用三角形的外角性质和三角形的内角和定理求出∠EMB和∠EBM的度数，即可求出∠DEA的度数，即可求出答案．
解答：如图，作△ADB≌△AMB，连接CD、MD，

∴∠MBD=∠MBA+∠DBA=2∠MBA=60°，
∠AMB=∠ADB=180°-10°-30°=140°，
而∠ACB=80°，AC=BC，且180°-140°=40°=×80°，
∴D就在以C为圆心，AC为半径的圆上，
∴AC=DC=BC，
∴△MBD为等边三角形，
∴BM=DM，又CM=CM
∴△CMD≌△CMB，
∴∠CMD=∠CMB
而∠CMD+∠CMB+∠BMD=360°，∠BMD=60°，
∴∠CMD=∠CMB=150°
易证∠MAD=20°，又AM=AD，
∴∠AMD=80°
则∠CMA=∠CMD-∠AMD=150°-80°=70°．
故答案为：70°．
点评：本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质等知识点，作辅助线构造平行四边形是解此题的关键．