Question

【题目】在平面直角坐标系中，设二次函数，其中．

(1)若函数的图象经过点，求函数的表达式；

(2)若一次函数的图象与函数的图象经过轴上同一点，探究实数满足的关系式；若随的变化能取得最大值，证明：当取得最大值时，抛物线与轴只有一个交点；

(3)已知点和在函数的图象上，若，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）若，则

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；

（3）根据二次函数的性质，可得答案．

解：(1)把点代入中，

解得

①当时，；

②当时，

．综合①②得

(2) 与轴交点为，

与轴交点为，

①当时，此时，

②当时，此时，

若随的变化能取得最大值时，此时且当时，取得最大值，

此时

令，解得，所以此时函数与轴只有一个交点

(3) 的对称轴为

与对应函数值相等，

又开口向上，

∴若，则

【点晴】

本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．