Question

14．已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：
①若c≠0，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1；
②若a=3，则b+c=9；
③若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．
其中正确的是①③． （把所有正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 ①正确．由c≠0，a+b=ab=c，推出ab≠0，推出$\frac{a+b}{ab}$=1，即$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，故正确．
②错误．由a=3，a+b=ab=c，推出3+b=3b=c，推出b=$\frac{3}{2}$，c=$\frac{9}{2}$，推出b+c=$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{2}$=6，故②错误．
③正确．分三种情形讨论即可．

解答 解：∵c≠0，a+b=ab=c，
∴ab≠0，
∴$\frac{a+b}{ab}$=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，故①正确．
∵a=3，a+b=ab=c，
∴3+b=3b=c，
∴b=$\frac{3}{2}$，c=$\frac{9}{2}$，
∴b+c=$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{2}$=6，故②错误，
∵a、b、c中只有两个数相等，
假设a=b，则有2a=a²=c，
∴a=2或0（舍弃），
∴a=b=2，c=4，
∴a+b+c=8，
假设a=c，则有b+c=bc=c，则a=b=c=0，不合题意，同理b=c也不合题意，故③正确，
故答案为①③．

点评 本题考查分式的加减、等式的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．