Question

25、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，请回答下列问题．
（1）DE与BE相等吗？请说明理由；
（2）判断BC，DE，EF三者的数量关系，并说明理由；
（3）平行线DE，BC之间的距离与DF的长度有何数量关系，为什么？

Answer 1

分析：（1）中，根据平行线的性质以及等腰三角形的判定方法即可证明；
（2）中，运用全等三角形的判定以及性质，结合第（1）小题的结论即可证明；
（3）中，理解两条平行线间的距离的概念，再根据第（2）小题证明的全等三角形即可证明．

解答：解：（1）DE=BE，理由如下：
∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC．
又BD平分∠ABC，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE．
（2）BC=DE+EF，理由如下：
∵∠FBD=∠CBD，∠DFB=∠DCB=90°，BD=BD，
∴△BDF≌△BDC．
∴BC=BF．
∴BC=BE+EF=DE+EF．
（3）平行线DE，BC之间的距离等于DF的长，理由如下：
根据（2）中已证明的全等三角形得DF=DC，即平行线DE，BC之间的距离等于DF的长．

点评：本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的性质与判定；有平行线及角平分线的题目往往能够得到等腰三角形，这也是解答本题的关键．