Question

6．如图，已知∠MON=30°，点A₁、A₂、A₃在射线ON上，点B₁、B₂、B₃…在射线OM上，△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄…均为等边三角形，分别连接A₁B₂，连接A₂B₃…．若OA₁=a，从左往右的阴影面积依次记作S₁、S₂、S₃…S_n．则S_n=$\frac{{4}^{n-2}\sqrt{3}{a}^{2}}{3}$．

Answer 1

分析 易证∠A₁OB₁=∠A₁B₁O=30°，从而可得B₁A=OA₁=a，同理可得A₂B₂=OA₂=2a，B₃A₃=OA₃=4a，…，从而归纳得到BnAn=2^n-1•a，即可得到S_{正△AnBnAn+1}=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BnAn²=$\sqrt{3}$•4^n-2•a²．易证A₁B₁∥A₂B₂，从而可得△A₁B₁C₁∽△B₂A₂C₁，根据相似三角形的性质可得$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{{A}_{2}{C}_{1}}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，根据合比性质可得$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{{B}_{1}{A}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，根据两个三角形高相等时面积比等于底的比可得S₁=$\frac{1}{3}$S_△A1B1A2，同理可得Sn=$\frac{1}{3}$S_△AnBnAn+1，由此就可求出Sn．

解答 解：∵△A₁B₁A₂是等边三角形，∴∠B₁A₁A₂=60°．
∵∠MON=30°，∴∠OB₁A₁=60°-30°=30°，
∴∠A₁OB₁=∠A₁B₁O，∴B₁A=OA₁=a．
同理：A₂B₂=OA₂=2a，B₃A₃=OA₃=4a，…
BnAn=2^n-1•a，
∴S_{正△AnBnAn+1}=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BnAn²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2^n-1•a）²．
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2^2n-2•a²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•4^n-1•a²=$\sqrt{3}$•4^n-2•a²．
∵△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃为等边三角形，
∴∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂A₃=60°，
∴A₁B₁∥A₂B₂，
∴△A₁B₁C₁∽△B₂A₂C₁，
∴$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{{A}_{2}{C}_{1}}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{{B}_{1}{A}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{△A1B1A2}}$=$\frac{1}{3}$，即S₁=$\frac{1}{3}$S△A₁B₁A₂．
同理可得Sn=$\frac{1}{3}$S△AnBnAn+1=$\frac{1}{3}$•$\sqrt{3}$•4^n-2•a²=$\frac{{4}^{n-2}•\sqrt{3}}{3}$•a²．
故答案为$\frac{{4}^{n-2}•\sqrt{3}}{3}$•a²．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、合比性质、高相等时面积比等于底的比、等边三角形面积公式等知识，由特殊到一般，发现规律是解决本题的关键．