Question

10．如图，依次用a₁，a₂，a₃…表示图中①②③…的点的个数．
（1）a₁=4，a₂=10，a₃=19；如果按照上述规律继续画图，猜想a₄=31，a_n=$\frac{3}{2}$n（n+1）+1（n是正整数）．
（2）a_n与a_n-1的关系是：a_n-a_n-1=3n．

Answer 1

分析 （1）由图可知：a₁=1+1×3=4，a₂=1+1×3+2×3=10，a₃=1+1×3+2×3+3×3=19，…由此规律得出a_n=1+1×3+2×3+3×3+…+3n=$\frac{3}{2}$n（n+1）+1，由此代入求得答案即可；
（2）利用（1）的规律得出答案即可．

解答 解：（1）a₁=1+1×3=4，
a₂=1+1×3+2×3=10，
a₃=1+1×3+2×3+3×3=19，
a₄=1+1×3+2×3+3×3+4×3=31，
…
a_n=1+1×3+2×3+3×3+…+3n=$\frac{3}{2}$n（n+1）+1．
（2））a_n与a_n-1的关系是：a_n-a_n-1=1+1×3+2×3+3×3+…+3n-[1+1×3+2×3+3×3+…+（3n-1）]=3n．
故答案为：19，31，$\frac{3}{2}$n（n+1）+1，3n．

点评 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用规律解决问题．