Question

5．阅读下面材料：
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．
小聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究．
∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
第一种情况：当∠B是直角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是C；
A．全等   B．不全等   C．不一定全等
第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E＞90°，求证：△ABC≌△DEF．

Answer 1

分析 第二种情况：以F为圆心，AC长为半径画弧，交射线EM于D、D′；则DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等；
第三种情况：过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于点H，先证明△CBG≌△FEH，得出CG=FH，再证明Rt△ACG≌Rt△DFH，得出∠A=∠D，再由AAS即可证出△ABC≌△DEF．

解答 解：第二种情况：如图1所示：
以F为圆心，AC长为半径画弧，交射线EM于D、D′；
则DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等；
故选：C；
第三种情况：
证明：如图2所示：
过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，
过点F作DH⊥DE交DE的延长线于点H，
∵∠B=∠E，
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
$\left\{{\begin{array}{l}{∠CBG=∠FEH}\\{∠G=∠H=90°}\\{BC=EF}\end{array}}\right.$，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，$\left\{{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{CG=FH}\end{array}}\right.$，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，$\left\{{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠B=∠E}\\{AC=DF}\end{array}}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．