Question

15．如图，在?ABCD中，延长CD到E，使DE=CD，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
（1）求证：AF=DF；
（2）若BC=2AB，且DE=1，∠E=30°，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE、BD、根据AB∥CD，AB=CD=DE，得出平行四边形ABDE，即可推出答案；
（2）连结CF，由平行四边形的性质得到DF∥BC，推出△FDE∽△BCE，得到比例式$\frac{EF}{FB}$=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，利用三角形一边上的中线等于这边的一半，这是直角三角形，得到∠CFE=90°，因为∠E=30°得到CF=$\frac{1}{2}$EC=1，由勾股定理得到EF，于是求出结果．

解答 （1）证明：如图1，连接BD、AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DE=CD，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AF=DF．

（2）解：如图2，连结CF
∵DF∥BC，
∴△FDE∽△BCE，
∴$\frac{EF}{FB}$=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=EF，
∵DE=CD=1，AB=CD，BC=2AB，
∴BC=EC=2，
∴∠CFE=90°，
又∵∠E=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$EC=1，
∴EF=$\sqrt{{EC}^{2}{-CF}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{-1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BE=2EF=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理等，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，综合性比较强．