Question

3．一次函数y=kx-3的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象相交，其中的一个交点P在第四象限，PA⊥x轴于点A，PQ⊥y轴于点B，AC=2OC，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且且S_△DBP=27
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）已知点Q与点P、A、C是一个平行四边形的四个顶点，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）令一次函数解析式中x=0，求出对应的y值，确定出D的坐标，得到OD的长，再由已知条件得到OB的长，由OD+OB求出BD的长，在直角三角形BDP中，利用两直角边乘积的一半表示出三角形的面积，将BD及已知的面积代入求出BP的长，确定出P的坐标，由P为一次函数与反比例函数的交点，将P的坐标代入一次函数解析式中求出k的值，确定出一次函数解析式，将P的坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，确定出反比例函数解析式；
（2）如图所示根据A、P、C的坐标结合平行四边形的性质即可求得．

解答 解：（1）令一次函数解析式y=kx+3中x=0，解得y=3，
∴D坐标为（0，3），即OD=3，
∵PA∥y轴，
∵$\frac{PA}{OD}$=$\frac{AC}{OC}$
又∵AC=2OC，
∴PA=6，
∴OB=6，
∴BD=OD+OB=3+6=9，
∵S_Rt△BDP=$\frac{1}{2}$BD•BP=$\frac{1}{2}$×9×BP=27，
∴BP=6，
∴P的坐标为（6，-6），
将x=6，y=-6代入一次函数解析式得：-6=6k+3，
解得：k=-$\frac{3}{2}$，
∴一次函数解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+3，
将x=6，y=-6代入反比例解析式得：-6=$\frac{m}{6}$，
解得：m=-36，
∴反比例函数的表达式为y=-$\frac{36}{x}$；

（2）如图，

∵A（6，0），P（6，-6），C（2，0），
∴Q（2，-6）或（10，-6）或（2，6）．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点，以及利用待定系数法求函数解析式，其中利用待定系数法确定出两函数解析式是求两函数交点的关键．