Question

13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+1（a≠0）过点A（-1，0），B（1，1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax²+bx+1（a≠0）的函数表达式；
（2）若点D在抛物线y=ax²+bx+1（a≠0）的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；
（3）在抛物线y=ax²+bx+1（a≠0）的对称轴上是否存在点P，使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A（-1，0），B（1，1）代入y=ax²+bx+1，得到方程组，求出a，b，即可解答；
（2）抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x+1$的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$．设点E为点A关于直线$x=\frac{1}{2}$的对称点，则点E的坐标为（2，0）．连接EC交直线$x=\frac{1}{2}$于点D，此时△ACD的周长最小．设直线EC的函数表达式为y=kx+m，代入E，C的坐标，求出解析式，当$x=\frac{1}{2}$时，$y=\frac{3}{4}$．所以点D的坐标为$（{\frac{1}{2}，\frac{3}{4}}）$．
（3）存在，分两种情况进行讨论：①当点A为直角顶点时，过点A作AC的垂线交y轴于点M，交对称轴于点P₁，得到点M的坐标为（0，-1），从而求出直线AM的函数表达式为y=-x-1．令$x=\frac{1}{2}$，则$y=-\frac{3}{2}$．所以点P₁的坐标为$（{\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}}）$．；②当点C为直角顶点时，过点C作AC的垂线交对称轴于点P₂，交x轴于点N，与①同理可得Rt△CON是等腰直角三角形，得到点N的坐标为（1，0），根据CP₂∥AP₁，从而求出直线CP₂的函数表达式为y=-x+1，令$x=\frac{1}{2}$，则$y=\frac{1}{2}$，所以点P₂的坐标为$（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+1（a≠0）过点A（-1，0），B（1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=0}\\{a+b+1=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数关系式为$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x+1$．
（2）∵$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，C（0，1），
∴抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x+1$的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，
设点E为点A关于直线$x=\frac{1}{2}$的对称点，则点E的坐标为（2，0），
连接EC交直线$x=\frac{1}{2}$于点D，此时△ACD的周长最小，
设直线EC的函数表达式为y=kx+m，代入E，C的坐标，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+m=0}\\{m=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{m=1}\end{array}\right.$，
所以，直线EC的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+1$，
当$x=\frac{1}{2}$时，$y=\frac{3}{4}$，
∴点D的坐标为$（{\frac{1}{2}，\frac{3}{4}}）$．
（3）存在；
①如图1，当点A为直角顶点时，过点A作AC的垂线交y轴于点M，交对称轴于点P₁，

∵AO⊥OC，AC⊥AP₁，
∴∠AOM=∠CAM=90°，
∵C（0，1），A（-1，0），
∴OA=OC=1，
∴∠CAO=45°，
∴∠OAM=∠OMA=45°，
∴OA=OM=1，
∴点M的坐标为（0，-1），
设直线AM对应的一次函数的表达式为y=k₁x+b₁，代入A，M的坐标，
则：$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{{b}_{1}=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{{b}_{1}=-1}\end{array}\right.$，
所以，直线AM的函数表达式为y=-x-1，
令$x=\frac{1}{2}$，则$y=-\frac{3}{2}$，
∴点P₁的坐标为$（{\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}}）$；
②如图2，当点C为直角顶点时，过点C作AC的垂线交对称轴于点P₂，交x轴于点N，

与①同理可得Rt△CON是等腰直角三角形，
∴OC=ON=1，
∴点N的坐标为（1，0），
∵CP₂⊥AC，AP₁⊥AC，
∴CP₂∥AP₁，
∴直线CP₂的函数表达式为y=-x+1，
令$x=\frac{1}{2}$，则$y=\frac{1}{2}$，
∴点P₂的坐标为$（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$；
综上，在对称轴上存在点P₁$（{\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}}）$，P₂$（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形．

点评 本题考查了二次函数，解决本题（2）时，找到点A关于直线$x=\frac{1}{2}$的对称点是关键，在（3）中分类讨论思想和数形结合是解题的关键．