Question

在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
（1）判断点M（2

2

，4+2

2

）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）在直线y=-x+b（b为常数）上，求a、b的值．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征

专题：新定义

分析：（1）过M点分别作x轴和y轴的垂线，分别计算出垂线与坐标轴围成矩形的周长=8

2

+8；与坐标轴围成矩形的面积=8

2

+8，然后根据新定义进行判断；
（2）先根据新定义得到2|a|+6=3|a|，解得a=6或-6，再利用一次函数图象上点的坐标特征得到-a+b=3，即b=a+3，然后把a的值分别代入可计算出对应的a的值．

解答：解：（1）点M是和谐点．理由如下：
过M点分别作x轴和y轴的垂线，与坐标轴围成矩形的周长=2（2

2

+4+2

2

）=8

2

+8；与坐标轴围成矩形的面积=2

2

×（4+2

2

）=8

2

+8，
所以点M（2

2

，4+2

2

）是和谐点；
（2）∵点P（a，3）是和谐点，
∴2|a|+6=3|a|，
∴|a|=6，解得a=6或-6，
∵点P（a，3）在直线y=-x+b（b为常数）上，
∴-a+b=3，即b=a+3，
当a=6时，b=9；当a=-6时，b=-3，
∴a、b的值分别为6，9或-6，-3）．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）；直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．