Question

如图1，抛物线y＝－x²－x＋3与x轴交于

A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等

于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为

顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

图（3）

图（2）

图（1）

 

Answer 1

解（1）由－x²－x＋3＝0，  得交点坐标为A(－4， 0)、B(2， 0)

（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．

过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．

设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．

由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以． ………………………………4分

所以，点D的坐标为．…………………………………………5分

因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．

而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为           …………6分

图2                            图3

（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．

以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．   …………………………………………………………………………………7分

连接GM，那么GM⊥l．

在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．

在Rt△EM₁A中，AE＝8，，所以M₁A＝6．…………………8分

所以点M₁的坐标为(－4， 6)，过M₁、E的直线l为y＝－x＋3．       …………9分

根据对称性，直线l还可以是y＝x－3．                            …………10分