Question

2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=10，E，F分别是边AB，CD的中点，则EF=$\sqrt{41}$．

Answer 1

分析 先判断出EG，FG分别是△ABD和△ACD的中位线即可求出EG，FG，进而确定出四边形PQHG是矩形，即可得出∠EGF=90°，最后用勾股定理即可求出EF．

解答 解：取AD的中点，连接EG，FG，
∵点E是AB的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG∥BD，EG=$\frac{1}{2}$BD=5，
∵点F，G分别是CD，AD的中点，
∴FG是△ACD的中位线，
∴FG∥AC，FG=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵EG∥BD，FG∥AC，
∴四边形PQHG是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠AQD=90°，
∴平行四边形PQHG是矩形，
∴∠EGF=90°，
在R△EFG中，EG=5，FG=4，
根据勾股定理得，EF=$\sqrt{E{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
故答案为：$\sqrt{41}$

点评 此题是主要考查了三角形中位线定理，平行四边形判定，矩形的判定和的性质，勾股定理，解本题的关键是将EF转化到在直角三角形EFG中，是一道基础题目．