Question

3．已知一个圆锥形的漏斗侧面展开图的圆心角为120°，圆锥的高为4．则圆锥的全面积（　　）

• A． 6π
• B． 8π
• C． 16π
• D． 20π

Answer 1

分析 设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的母线长为R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得2πr=$\frac{120•π•R}{180}$，解得R=3r，再利用勾股定理得到r²+4²=R²，则可计算出r=$\sqrt{2}$，所以R=3$\sqrt{2}$，然后计算底面积与侧面积的和即可．

解答 解：设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的母线长为R，
根据题意得2πr=$\frac{120•π•R}{180}$，解得R=3r，
∵r²+4²=R²，
∴r²+4²=9r²，解得r=$\sqrt{2}$，
∴R=3$\sqrt{2}$，
∴圆锥的全面积=π•（$\sqrt{2}$）²+$\frac{1}{2}$•2π•$\sqrt{2}$•3$\sqrt{2}$=8π．
故选B．

点评 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解决本题的关键是得到圆锥底面圆的半径与母线长的关系，进而通过勾股定理求出圆锥底面圆的半径和母线长．