Question

13．如图1，点P是线段AB上的动点（P不与A、B重合），分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作等边△APC和等边△BPD，AD和BC交于点M．
（1）求证：AD=BC；
（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α（α＜60°），如图2所示，在旋转过程中，∠AMC的度数是否与α的大小有关？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）只要证明△BPC≌△DPA即可．
（2）先证明△BPC≌△DPA得到∠BCP=∠DAP，求出∠AMC的大小即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，∵△APC和△BPD是等边三角形，
∴CP=AP，DP=PB，∠APC=∠DPB=60°，
∵∠BPC=180°-60°，∠DPA=180°-60°，
∴∠BPC=∠DPA，
在△BPC和△DPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{CP=AP}\\{∠BPC=∠DPA}\\{DP=PB}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△DPA，
∴AD=BC．
（2）∠AMC的度数与α的大小无关，理由如下：
如图2，∵∠BPC=∠CPD+60°，∠DPA=∠CPD+60°，
∴∠BPC=∠DPA，
在△BPC和△DPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=DP}\\{∠BPC=∠DPA}\\{PC=PA}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△DPA，
∴∠BCP=∠DAP，
∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC
=120°-∠BCP-∠MAC
=120°-（∠DAP+∠MAC）
=120°-∠PAC
=60°，
∴∠AMC的度数与α无关．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，所以中考常考题型．