Question

1．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与直线y=kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x=1．
（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值．
（2）设P为直线y=kx下方的抛物线上一点，求△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求得解析式，然后根据题意得到平移后的解析式，把M坐标代入y=kx即可求得k的值；
（2）过P作PQ∥y轴，交MN于Q，设Q（t，t），则P（t，$\frac{1}{2}$t²-t+$\frac{3}{2}$），求得PQ=-$\frac{1}{2}$t²+2t-$\frac{3}{2}$，然后根据三角形面积公式得出S=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+$\frac{1}{2}$，即可求得△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=1}\\{a+b+c=1}\\{9a+3b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线为y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$，
∵该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，
∴平移后的抛物线为y=$\frac{1}{2}$x²-x，
将M（1，1）代入y=kx得k=1；
（2）过P作PQ∥y轴，交MN于Q，设Q（t，t），则P（t，$\frac{1}{2}$t²-t+$\frac{3}{2}$），
则PQ=t-（$\frac{1}{2}$t²-t+$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$t²+2t-$\frac{3}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$PQ×（3-1）=PQ=-$\frac{1}{2}$t²+2t-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+$\frac{1}{2}$，
∴当t=2时，△PMN的面积最大，此时P（2，$\frac{3}{2}$），S_△PMN=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，也考查二次函数的性质．